Algèbre - Cours de première année

À la découverte de l’algèbre 

La première année d’études supérieures pose les bases des mathématiques. 

Pourquoi se lancer dans une telle expédition ? 

Déjà parce que les mathématiques vous offriront un langage unique pour accéder à une multitude de domaines scientifiques. 

Mais aussi parce qu’il s’agit d’un domaine passionnant ! 

Nous vous proposons de partir à la découverte des maths, de leur logique et de leur beauté. 

Dans vos bagages, des objets que vous connaissez déjà : les entiers, les fonctions... Ces notions en apparence simples et intuitives seront abordées ici avec un souci de rigueur, en adoptant un langage précis et en présentant les preuves. 

Vous découvrirez ensuite de nouvelles théories (les espaces vectoriels, les équations différentielles,...). 

Ce tome est consacré à l’algèbre et se divise en deux parties. 

La première partie débute par la logique et les ensembles, qui sont des fondamentaux en mathématiques. 

Ensuite vous étudierez des ensembles particuliers : les nombres complexes, les entiers ainsi que les polynômes. 

Cette partie se termine par l’étude d’une première structure algébrique, avec la notion de groupe. 

La seconde partie est entièrement consacrée à l’algèbre linéaire. 

C’est un domaine totalement nouveau pour vous et très riche, qui recouvre la notion de matrice et d’espace vectoriel. 

Ces concepts, à la fois profonds et utiles, demandent du temps et du travail pour être bien compris.

Cours : Nombres complexes

Exercices : Nombres complexes

Cours : Logique et raisonnements

Exercices : Logique, ensembles, raisonnements

Cours : Ensembles et applications

Exercices : Injection, surjection, bijection

Exercices : Relation d'équivalence, relation d'ordre

Exercices : Dénombrement

Cours : Arithmétique

Exercices : Arithmétique dans Z

Cours :   Polynômes 

Exercices :

Polynômes 

Exercices :

Fractions rationnelles

Cours : 

Groupes

---------------------------
---------------------------

Algèbre en anglais ! 

Les exercices suivants, de Barbara Tumpach, ont un énoncé en français, mais sont corrigés uniquement en anglais. Cela vous permet d'approfondir votre anglais mathématique !

• Structure de groupe - Permutations
  fic00067.pdf   .html
  4 exercices
  
  
  Groups - Permutations
  en anglais
• Résolution de systèmes linéaires
  fic00068.pdf   .html
  9 exercices
  
  
  Resolution of linear systems
  en anglais
• Applications linéaires - Sous-espaces vectoriels
  fic00069.pdf   .html
  7 exercices
  
  
  Linear maps - subvectorspaces
  en anglais
• Calcul matriciel
  fic00070.pdf   .html
  6 exercices
  
  
  Matrix calculus
  en anglais
• Déterminants
  fic00071.pdf   .html
  8 exercices
  
  
  Determinants
  en anglais
• Vecteurs propres et valeurs propres
  fic00072.pdf   .html
  7 exercices
  
  
  Eigenvalues and eigenvectors
  en anglais
• Révisions - Algèbre linéaire
  fic00073.pdf   .html
  10 exercices
  
  
  Review - Linear Algebra
  en anglais
• Structure d'espace vectoriel
  fic00074.pdf   .html
  5 exercices
  
  
  Structure of vector space
  en anglais
• 
  

   Logique et raisonnements   

   Logique                                                                                                                                                            

   Raisonnements                                                                                                                                             

   Ensembles et applications     

   Ensembles                                                                                                                                                        

   Applications                                                                                                                                                     

   Injection, surjection, bijection                                                                                                                    

   Ensembles finis                                                                                                                                               

   Relation d’équivalence                                                                                                                                

   Nombres complexes     

   Les nombres complexes                                                                                                                                

   Racines carrées, équation du second degré                                                                                            

   Argument et trigonométrie                                                                                                                          

   Nombres complexes et géométrie                                                                                                              

   Arithmétique     

   Division euclidienne et pgcd                                                                                                                       

   Théorème de Bézout                                                                                                                                      

   Nombres premiers                                                                                                                                         

   Congruences                                                                                                                                                  

   Polynômes     

   Définitions                                                                                                                                                        

   Arithmétique des polynômes                                                                                                                       

   Racine d’un polynôme, factorisation                                                                                                        

   Fractions rationnelles                                                                                                                                   

   Groupes     

   Groupe                                                                                                                                                              

   Sous-groupes                                                                                                                                                  

   Morphismes de groupes                                                                                                                                

   Le groupe Z/nZ                                                                                                                                            

   Le groupe des permutations Sn

                                                                                                                

   Systèmes linéaires     

   Introduction aux systèmes d’équations linéaires                                                                                   

   Théorie des systèmes linéaires                                                                                                                    

   Résolution par la méthode du pivot de Gauss                                                                                      

   Matrices     

   Définition                                                                                                                                                        

   Multiplication de matrices                                                                                                                            

   Inverse d’une matrice : définition                                                                                                                

   Inverse d’une matrice : calcul                                                                                                                      

   Inverse d’une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires                                                 

   Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques                                                    

   L’espace vectoriel R

n       

   Vecteurs de R

n

                                                                                                                                                

   Exemples d’applications linéaires                                                                                                                

   Propriétés des applications linéaires                                                                                                          

     Espaces vectoriels       

   Espace vectoriel (début)                                                                                                                               

   Espace vectoriel (fin)                                                                                                                                     

   Sous-espace vectoriel (début)                                                                                                                      

   Sous-espace vectoriel (milieu)                                                                                                                      

   Sous-espace vectoriel (fin)                                                                                                                            

   Application linéaire (début)                                                                                                                         

   Application linéaire (milieu)                                                                                                                         

   Application linéaire (fin)                                                                                                                               

     Dimension finie       

   Famille libre                                                                                                                                                       

   Famille génératrice                                                                                                                                           

   Base                                                                                                                                                                      

   Dimension d’un espace vectoriel                                                                                                                

   Dimension des sous-espaces vectoriels                                                                                                       

     Matrices et applications linéaires       

   Rang d’une famille de vecteurs                                                                                                                   

   Applications linéaires en dimension finie                                                                                                 

   Matrice d’une application linéaire                                                                                                             

   Changement de bases                                                                                                                                     

     Déterminants       

   Déterminant en dimension    et                                                                                                                   

   Définition du déterminant                                                                                                                            

   Propriétés du déterminant                                                                                                                            

   Calculs de déterminants                                                                                                                               

   Applications des déterminants