Analyse - Cours de première année
Analyse - Cours de première année
À la découverte de l’analyse
Les mathématiques, vous les avez bien sûr manipulées au lycée. Dans le supérieur, il s’agit d’apprendre à
les construire ! La première année pose les bases et introduit les outils dont vous aurez besoin par la suite.
Elle est aussi l’occasion de découvrir la beauté des mathématiques, de l’infiniment grand (les limites) à
l’infiniment petit (le calcul de dérivée).
L’outil central abordé dans ce tome d’analyse, ce sont les fonctions. Vous en connaissez déjà beaucoup,
racine carrée, sinus et cosinus, logarithme, exponentielle... Elles interviennent dès que l’on s’intéresse à
des phénomènes qui varient en fonction de certains paramètres. Position d’une comète en fonction du
temps, variation du volume d’un gaz en fonction de la température et de la pression, nombre de bactérie en
fonction de la nourriture disponible : physique, chimie, biologie ou encore économie, autant de domaines
dans lesquels le formalisme mathématique s’applique et permet de résoudre des problèmes.
Ce tome débute par l’étude des nombres réels, puis des suites.
Les chapitres suivants sont consacrés aux
fonctions : limite, continuité, dérivabilité sont des notions essentielles, qui reposent sur des définitions et
des preuves minutieuses. Toutes ces notions ont une interprétation géométrique, qu’on lit sur le graphe de la
fonction, et c’est pourquoi vous trouverez dans ce livre de nombreux dessins pour vous aider à comprendre
l’intuition cachée derrière les énoncés. En fin de volume, deux chapitres explorent les applications des
études de fonctions au tracé de courbes paramétrées et à la résolution d’équations différentielles.
L’ensemble des nombres rationnels Q
Propriétés de R
Densité de Q dans R
Borne supérieure
Les suites
Définitions
Limites
Exemples remarquables
Théorème de convergence
Suites récurrentes
Limites et fonctions continues
Notions de fonction
Limites
Continuité en un point
Continuité sur un intervalle
Fonctions monotones et bijections
Fonctions usuelles
Logarithme et exponentielle
Fonctions circulaires inverses
Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses
Dérivée d’une fonction
Dérivée
Calcul des dérivées
Extremum local, théorème de Rolle
Théorème des accroissements finis
Intégrales
L’intégrale de Riemann
Propriétés de l’intégrale
Primitive d’une fonction
Intégration par parties – Changement de variable
Intégration des fractions rationnelles
Développements limités
Formules de Taylor
Développements limités au voisinage d’un point
Opérations sur les développements limités
Applications des développements limités
Courbes paramétrées
Notions de base
Tangente à une courbe paramétrée
Points singuliers – Branches infinies
Plan d’étude d’une courbe paramétrée
Courbes en polaires : théorie
Courbes en polaires : exemples
Équations différentielles
Définition
Équation différentielle linéaire du premier ordre
Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants
Problèmes conduisant à des équations différentielles
Leçons de choses
Alphabet grec
Écrire des mathématiques : LATEX en cinq minutes
Formules de trigonométrie : sinus, cosinus, tangente
Formulaire : trigonométrie circulaire et hyperbolique
Formules de développements limités
Formulaire : primitives
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